미분과 극한 :: 그리고 뉴턴이야기

공부/복습/수학 2006/06/26 16:40

미분과 극한:: 그리고 뉴턴이야기 - 공부(복습) 기록 by xevious7

'아이작 뉴튼'경은 역사상 가장 위대한 과학자로 평가되고 있습니다.
아시다시피 뉴튼은  운동의법칙과 미분으로 유명합니다.

1687년에 출간된 [자연철학의 수학적 원리 Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica] (줄여서 프린키피아)라고 불림) 책은 그 이전의
물리학을 완전히 바꾸어놓았습니다.

그런데 이 업적의 대부분의 아이디어는 그가 23세 였던 1665년 부터 1666년
사이에 이루어 낸것이라고 합니다. 1664년 그는 케임브리지 대학에서
스칼라 지위를 얻어서 석사를 취득할때까지 4년동안 경제적 지원을 받으면서
공부를 할 수 있었던 학생이었습니다. 1665년 페스트로 인해서 대학은
휴교를 했고 그는 1665년부터 1666년까지 고향으로 돌아와서 그가 이루어낸
수 많은 것들은 생각했던 것입니다.

가끔은 그래서 인간에서 자기와 자기의 일을 충분히 할 수 있는 여유로운
시간이 필요한것 같습니다. 특히 어떤 연구분야에 있어서는 말입니다.
그래서 대학의 교수들은 1년 또는 2년의 리프레쉬 휴가를 가지는 일이
보편화 된것 같습니다.

이미 이시기에 유분법(method of fluxions) 라는 이름으로 명명한 미분법과
유분법의 역 즉 적분을 개발하였지만 실제로 그것을 발표한것은 40년후인
1704년에 출간한 [광학 Opticks] 라는 책의 부록에서 40년전에 개발한 유분법을
간단히 설명하였습니다.  이 이전에 1670년 후반정도에 [분석에 관하여
De Analysi] 라는 책자가 있었지만 공식적으로 출간된것은 1711년 이라고 합니다.

그리고 뉴턴이 쓴 체계적인 미분법 설명은 1736년에 처음 출간 되었습니다.
뉴턴이 사망하고 난 9년뒤입니다. 이 사람은 명이 짧은 천재와는 달리
84세까지 살았고 1727년에 사망하였으며 묘비에는 다음과 같은 글이 새겨져
있습니다.

"유한한 인간들아, 이토록 위대한 사람이 있어 인류의 명예를 높였음을 기뻐하라"

또한명의 미분의 발명자로 인정되는 사람은 라이프니츠입니다.
역사적으로 볼때 뉴턴이 최초의 발명자임은 틀림 없으나 라이프니츠의 기하학적인
미분에 대한 설명은 미분을 빠르게 전파하는데 큰 역활을 했고 오늘날 까지도
교과서에서 미분을 설명할때 라이프니츠의 기하학적인 설명을 채택하고 있습니다.

우리가 미분을 할때 사용하는 수학기호 도함수기호라고 불리우는 (dy/dx) 도
라이프니츠의 것입니다.

중요한 것은 오늘날의 수학에서 미분의 설명과 증명은 '극한'이라는 개념을
사용해서 설명하고 증명하지만  뉴튼의 시대에는 극한의 개념이 없었던
시대였다는 것입니다.

현대 수학자들은 수학이 패턴의 과학이라고 생각하며 , 순차적인 근사과정을
통해 수적 기하학적 패턴을 찾는 것을 이상하게 여기지 않습니다. 하지만
그 시대의 수학자는 그렇게 생각하지 않았기 때문에 미분법 문제해결을 위해
정말 좋은 해법이었다는 것을 인정하면서도  많은 비판을 받았습니다.

1821년 이르러서 프랑스 수학자 코시(Augustin Louis Cauchy)에 의해 극한
이라는 개념이 개발되었고 그 후 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)에 의해
극한개념의 형식적 정의가 완성되었습니다. 미적분학이 개발된지 160여년 정도
가 지나서 발판을 마련하게 된것입니다.

엄밀한 이론으로 구성되기 까지 엄청난 시간이 걸린셈입니다. 가장 눈여겨 볼만한
것은 논리적 설명이 불가능한 상태에서 미적분학이 개발 되었다는 것입니다.
뉴턴과 라이프니츠가 올바른 직관을 가지고 방법을 만들어 냈기 때문인것입니다.

극한의 정의(링크 : 위키피디아) http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_%28mathematics%29

0 보다 큰 임의의 수 엡실론에 대하여, 다음을 만족시키는 0보다 큰수 델타가 존재한다.
0<|x-c|< \delta\, 라면 | f (x)-L|< \varepsilon\

이해를 위한 인용

"뉴턴과 라이프니츠는 근사(또는 극한) 과정에 관한 올바른 직관을 가지고 있었기에
그들이 개발한 미적분학을 신회할 만하고 대단히 유용한 도구로 발전시킬 수 있었다.
이를 위해 그들은 함수를 단지 계산 공식으로 보는 수준을 넘어서, 연구하고 조작해야
할 수학적 대상
을 간주했다. 그들은 함수들의 기울기를 혹은 다른 변화량들을 순차적으로
근사를 통해 계산하는 과정과 관련된 다양한 패턴들을 지침으로 삼아 연구를 진행시켯다.
그러나 그들은 더 뒤로 물러나서 그 근사 과정의 패턴들 자체를 수학적 탐구 대상으로
삼는 것에는 도달하지 못했다. "

= 수학의 언어 = 中


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